Vào đầu thế kỷ XIX, Jean-Baptiste Joseph Fourier đã phát triển phương pháp phân tách hàm số thành các sóng cơ bản với các tần số khác nhau. Kỹ thuật này đã tạo tiền đề cho phân tích hài hòa và được ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu, nén dữ liệu và vật lý lượng tử.
Điểm nổi bật:
- Phép biến đổi Fourier phân tách một hàm thành các dao động cơ bản với các tần số khác nhau.
- Trong xử lý tín hiệu và âm thanh, nó giúp tách biệt và phân tích các thành phần tần số.
- Nén ảnh như JPEG sử dụng biến đổi Fourier để loại bỏ thông tin tần số cao không cần thiết.
- Thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT) cho phép tính toán hiệu quả trên máy tính.
- Biến đổi Fourier có vai trò quan trọng trong cơ học lượng tử, radar và cộng hưởng từ.
Giới thiệu
Khi chúng ta lắng nghe một bản nhạc, tai của chúng ta thực hiện một phép tính: những làn sóng áp suất do flute, violin và double bass tạo ra với nhiều tần số khác nhau được tách biệt trong ốc tai, nơi các sợi lông khác nhau cộng hưởng với từng cao độ.
Vào đầu thế kỷ XIX, nhà toán học Pháp Jean-Baptiste Joseph Fourier đã khám phá ra cách phân tích bất kỳ hàm số nào thành tập hợp các sóng cơ bản, hay tần số. Khi ghép các thành phần này lại, bạn sẽ thu được hàm ban đầu.
Phép biến đổi Fourier phân tách một hàm thành các khối xây dựng dạng sóng.
Ngọn lửa đam mê
Fourier sinh năm 1768 giữa làn sóng cách mạng ở Pháp. Mồ côi từ 10 tuổi, ông được nuôi dưỡng tại tu viện ở Auxerre. Sau thời gian phân vân giữa đời tu và toán học, ông bỏ tu và dấn thân nghiên cứu. Trong Cách mạng Pháp, ông ủng hộ cách mạng cho đến khi bị bắt vào năm 1794 và suýt bị chém đầu.
Sau khi thoát khỏi khủng bố, Fourier quay lại giảng dạy và trở thành cố vấn khoa học cho Napoleon tại Ai Cập. Tại đây, ông nghiên cứu dẫn nhiệt và phát hiện cách viết phân bố nhiệt dưới dạng tổng của các sóng đơn giản — nền tảng cho phép biến đổi Fourier.
Một đôi tai tinh tường
Thực hiện biến đổi Fourier giống như ngửi một loại nước hoa và nhận diện từng thành phần mùi, hoặc nghe hợp âm jazz và tách riêng từng nốt nhạc.
Về mặt toán học, biến đổi Fourier là một hàm nhận đầu vào là hàm gốc và trả về một tập các tần số. Khi viết sóng sin và cosin ứng với các tần số này rồi cộng lại, ta thu lại hàm ban đầu.
Phép biến đổi này kiểm tra mức độ đóng góp của mỗi tần số bằng cách nhân hàm gốc với sóng sin hoặc cosin tương ứng. Kết quả cho biết tần số nào có mặt và đóng góp bao nhiêu.
Nếu hàm gốc có mép nhọn như sóng vuông, biến đổi Fourier sẽ tạo ra dãy tần số vô hạn để xấp xỉ biên nhọn. Dãy này gọi là chuỗi Fourier.
KếtEncore
Biến đổi Fourier mở rộng sang các đối tượng nhiều chiều như hình ảnh. Một ảnh xám hai chiều có thể được phân tích thành các tần số 2D tạo thành các họa tiết sọc và caro. Thuật toán nén JPEG loại bỏ tần số cao mà mắt người khó nhận biết, giúp giảm dung lượng ảnh.
Cuối thập niên 1960, Cooley và Tukey phát triển thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT), biến đổi Fourier trở thành công cụ thiết yếu trong xử lý tín hiệu, radar, MRI và thậm chí nền tảng cho nguyên lý bất định trong cơ học lượng tử.
Fourier tạo ra một cuộc cách mạng toán học, kết nối lý thuyết số, phương trình vi phân và cơ học lượng tử. Nếu không có phép biến đổi Fourier, nhiều lĩnh vực khoa học hiện nay sẽ không thể tồn tại.
Ý tưởng cho thị trường Việt Nam
Phép biến đổi Fourier không chỉ là khái niệm lý thuyết xa vời mà còn rất gần gũi với đời sống, từ nén hình ảnh trên điện thoại đến công nghệ y tế như MRI. Ở Việt Nam, khi nền công nghiệp AI và xử lý tín hiệu âm thanh, hình ảnh đang phát triển mạnh, hiểu rõ nguyên lý này giúp kỹ sư và nhà nghiên cứu ứng dụng trực tiếp vào các sản phẩm công nghệ. Ngoài ra, cộng đồng toán học Việt Nam có thể khai thác sâu phân tích hài hòa trong nghiên cứu lý thuyết số và cơ học lượng tử, mở ra cơ hội hợp tác quốc tế với các trung tâm toán học hàng đầu thế giới.
